עקרון האילוץ המינימלי של גאוס

עקרון האילוץ המינימלי (באנגלית: Principle of least constraint) הוא ניסוח מסוים של מכניקה קלאסית שתואר לראשונה במאמר קצר מ-1829 של קרל פרידריך גאוס.

עקרון האילוץ המינימלי הוא עקרון ריבועים פחותים הקובע שהתאוצות האמיתיות של רכיבי מערכת מכנית המורכבת מ-$N$ מסות הן כאלו שממזערות את הגודל:

$Z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathbf {F} _{k}}{m_{k}}}\right|^{2}$

בעבור כל התאוצות $\{{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}\}$ שמקיימות את האילוצים הכפויים, כאשר $m_{k}$, $\mathbf {r} _{k}$ ו- $\mathbf {F} _{k}$ מייצגים את המסה, המיקום והכוחות הלא-מאלצים של המסה $\mathrm {k^{th}}$. שימו לב שאוסף התאוצות המקיימות את האילוצים הכפויים הן באופן כללי תלויות במצב הנוכחי של המערכת, $\{(\mathbf {r} _{k},{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}})\}$. את משמעות העיקרון סיכם גאוס בניסוח מילולי אלגנטי:

"התנועה של מערכת של נקודות חומריות מתרחשת בכל רגע נתון בהתאמה מרבית עם תנועה חופשית או תחת אילוץ מינימלי, כאשר האילוץ מוגדר כסכום מכפלות המסות בריבועי הסטיות שלהן מתנועה חופשית".

גאוס סיים את מאמרו בהדגש משמעותי, בו מתח אנלוגיה בין העיקרון החדש שלו לשיטת הריבועים הפחותים; דהיינו האנלוגיה בין חוקי הטבע ועבודתו של המתמטיקאי המחשב.

העיקרון של גאוס מקביל לעקרון ד'אלמבר.

עקרון האילוץ המינימלי דומה באופן איכותי לעקרון המילטון, אשר קובע שהמסלול האמיתי של מערכת במרחב המצבים הוא האקסטרמום של הפעולה.

הסבר

הבעיות אליהן העיקרון מתייחס נוגעות לדינמיקה עם אילוצים (constrained dynamics). כלומר, במקרה הכללי ביותר שלהן ישנן מספר מסות הנתונות להשפעת כוחות חיצוניים, כשמסות אלו נתונות לאילוצים על המצב שלהן; למשל, משקולתה של מטוטלת תיטה ליפול ישירות מטה בתאוצת הכובד g, אולם תנועתה מוגבלת לקשת מעגל על ידי חוט המטוטלת - כך שעל פי העיקרון, תאוצתה תהיה הקרובה ביותר האפשרית לזו של נפילה חופשית, זאת בעוד היא עדיין תימצא במרחק קבוע מציר המטוטלת.

מינוח

• קונפיגורציה של מערכת היא מצב אפשרי שלה במרחב המצבים - בעבור N מסות במרחב תלת-ממדי ללא אילוצים, מדובר באוסף של 3N קואורדינטות מיקום ו-3N קואורדינטות תנע. במצב המערכת הכוונה היא לווקטור המצב $(X,{\dot {X}})$, כאשר X מייצג את המיקומים ו-${\dot {X}}$ מייצג את המהירויות.
• מערכת מאולצת היא מערכת בה וקטור המיקומים X חייב להימצא על יריעה המשוכנת במרחב ה-3N ממדי. בכוחות אילוץ הכוונה היא לכוחות שאינם מבצעים עבודה מכנית על המערכת במהלך התפתחותה. אם נסמן ב- $T_{X}$ את אוסף המהירויות האפשריות של המערכת עבור ווקטור מיקומים נתון X, אז בניסוח מתמטי פירוש התנאי הוא שאוסף הכוחות המאלצים הוא אורתוגונלי ל-$T_{X}$ (כלומר $T_{X}$ והמרחב הווקטורי הנפרש על ידי הכוחות המאלצים הם תת-מרחבים ניצבים). שימו לב גם ש-$T_{X}$ הוא המרחב המשיק ליריעה בכל נקודה.
• הבעיה המרכזית היא: בהינתן יריעת האילוצים והמצב הנוכחי $(X,{\dot {X}})$ של המערכת, למצוא את וקטור התאוצות ${\ddot {X}}$. מציאתו מאפשרת לקבוע את המסלול במרחב המצבים

$X(t)$. ניסוח בעיה זו הוא האנלוג של החוק השני של ניוטון $F=ma$ - הוא מתאר את ההתפתחות המקומית של המערכת.

מכיוון ש-${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}={\frac {F_{k}+C_{k}}{m_{k}}}$, כאשר $C_{k}$ הוא הכוח המאלץ הפועל על החלקיק ה-k, העיקרון למעשה קובע שתנועת המערכת ממזערת את הגודל:

$Z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}C_{k}^{2}$

כלומר שהתנועה ממזערת את האינטראקציה הכוללת בין החלקיקים ליריעה עליה הם מאולצים לנוע, כאשר האינטראקציה הכוללת נמדדת כסכום ריבועי הכוחות המאלצים הפועלים על החלקיקים; זוהי על כן הסיבה לבחירת שמו של העיקרון כ-"עקרון האילוץ המינימלי".

פרשנות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

הפיזיקאי היינריך הרץ פירש את העיקרון של גאוס בכלים מתמטיים מגאומטריה דיפרנציאלית, תוך מתן ניסוח וריאציוני ייחודי נוסף למכניקה הקלאסית - עקרון העקמומיות המינימלית של הרץ (Hertz's principle of least curvature). הרץ פירש את התבנית הריבועית מהעיקרון, אשר יש להביא ערכה למינימום, כמדד לעקמומיות הגאודזית של מסלול וקטור המצב של המערכת ביחס ליריעת האילוצים. כאשר לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים (פרט לכוחות המאלצים), העקמומיות הגיאודזית מתאפסת, ומסלולי המערכת יהיו מסילות גאודזיות של היריעה.

דוגמאות

חלקיק חופשי הנע על גבי משטח עקום

הכוח הכולל הפועל על חלקיק יחיד במערכת מכנית כלשהו הוא השקול של סכום הכוחות הלא מאלצים הפועלים עליו, שנסמנו $F$, והכוח המאלץ $C$. למשל, עבור חלקיק הנופל בהשפעת שדה כובד תוך שהוא מאולץ לנוע על משטח חסר חיכוך מסוים, הכוח הלא מאלץ הפועל עליו הוא כוח הכובד (החיצוני למערכת) והכוח המאלץ הפועל עליו הוא הכוח הנורמלי שמפעילה עליו היריעה הדו-ממדית (המשטח) עליה הוא נע.

נתייחס כעת למקרה של חלקיק חופשי, כלומר חלקיק הנע במהירות קבועה v על משטח בהיעדר כוח חיצוני לא מאלץ. במקרה זה עקרון האילוץ המינימלי קובע שהחלקיק ינוע בין נקודה A לנקודה B על המשטח במסלול אקסטרמלי כזה שימזער את הגודל:

$\int _{A}^{B}|{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}-{\frac {F}{m}}|^{2}ds=\int _{A}^{B}|{\frac {C+F}{m}}-{\frac {F}{m}}|^{2}ds=\int _{A}^{B}({\frac {C}{m}})^{2}ds$

מכיוון שמסת החלקיק ומהירותו קבועים, בעוד שעקמומיות המסלול של החלקיק, שנסמנה $\kappa$, נקבעת על פי מהירותו ותאוצתו (בהתאם לקשר:${\frac {C}{m}}=\kappa v^{2}$), העיקרון קובע למעשה שיש למזער את הגודל:

$\int _{A}^{B}\kappa ^{2}(s)ds$

אם ניעזר כעת בקשר שבין העקמומיות של מסלול במרחב, העקמומיות הנורמלית של המשטח בכיוון מסוים והעקמומיות הגאודזית של מסלול ביחס למשטח, דהיינו $\kappa ^{2}=\kappa _{n}^{2}+\kappa _{g}^{2}$, אז נקבל שמכך שהעקמומיות הנורמלית היא תכונה של המשטח (כמו גם של כיוון התנועה ההתחלתי הניתן לחלקיק) אז הדרך היחידה של מסלול החלקיק למזער את האינטגרל לעיל היא לנוע במסלול כזה שיאפס כל הזמן את העקמומיות הגאודזית; מתקיים תמיד $\kappa \geq \kappa _{n}$ כאשר השוויון מתקבל עבור מסלולים שהם מסילות גאודזיות (עבורם העקמומיות הגאודזית מתאפסת בכל נקודה).

לפיכך עקרון האילוץ המינימלי קובע שבמקרה זה, החלקיק ינוע בין A ל-B במסלול שהוא קו גיאודזי של המשטח; דוגמה זו ממחישה כיצד עקרון האילוץ המינימלי שקול למושגים ורעיונות מסוימים מגאומטריה דיפרנציאלית.

מטוטלת כפולה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ראו גם

• עקרון ד'אלמבר